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  1. IIR濾波器簡介

  1.3 雙二階IIR濾波器

在頻域中，IIR濾波器的響應(yīng)由系統(tǒng)的傳送函數(shù)表征。換言之，傳送函數(shù)是濾波器的輸入到輸出行為的數(shù)學(xué)表達(dá)。

  1.3.1 濾波器階數(shù)和級聯(lián)雙二階

  IIR傳送函數(shù)表示為復(fù)頻率的多項(xiàng)式之比;其中分子包含系統(tǒng)的零點(diǎn)，分母包含系統(tǒng)的極點(diǎn)。傳送函數(shù)中零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)量決定了系統(tǒng)的濾波器階數(shù)，零點(diǎn)和極點(diǎn)的值則描述濾波器的頻率響應(yīng)。

雙二階濾波器是二階濾波器，包含兩個極點(diǎn)和零點(diǎn)。高階濾波器通常是必需的，因?yàn)樗鼈兛梢詫?shí)現(xiàn)更急劇的頻率衰減，但它們對系數(shù)量化更敏感，因此有可能變得不穩(wěn)定。這對于雙二階濾波器來說沒什么問題，因此高階濾波器通常被實(shí)現(xiàn)為一系列級聯(lián)的雙二階部分。

  1.4 IIR濾波器規(guī)范

濾波器設(shè)計是將一組需求轉(zhuǎn)化為定義明確的數(shù)值算法的過程。IIR濾波器規(guī)范是根據(jù)所需的頻率響應(yīng)、模擬設(shè)計和結(jié)構(gòu)制定的。

  1.4.1 濾波頻率響應(yīng)類型

  如前文所述，數(shù)字濾波器作用于輸入信號的頻率響應(yīng)，以創(chuàng)建在特定頻率范圍內(nèi)響應(yīng)有增強(qiáng)或減弱的輸出。濾波器的常見頻率響應(yīng)包括以下類型：

  低通低通通濾波器可將低于指定截止頻率的頻率傳遞到輸出，同時阻止高于截止值的頻率。

  高通 高通濾波器可將高于指定截止頻率的頻率傳遞到輸出，同時阻止低于截止值的頻率。

  帶通 帶通濾波器是高通濾波器和低通濾波器的組合。介于兩個指定截止頻率之間的任何頻率都將傳遞到輸出信號，而在指定頻帶之外的頻率將被阻止。

  帶阻 帶阻濾波器是低通濾波器和高通濾波器的組合。介于兩個指定截止頻率之外的任何頻率都將傳遞到輸出信號，而在指定頻帶內(nèi)的頻率將被阻止。

圖1. 四種頻率響應(yīng)

  1.4.2 模擬濾波器的類型

由于數(shù)學(xué)上的限制，不存在用于設(shè)計IIR濾波器的最佳程序。IIR濾波器遵循現(xiàn)有模擬濾波器設(shè)計的既定設(shè)計程序而制造。模擬濾波器算法的值經(jīng)過略微調(diào)整，即可實(shí)現(xiàn)所需IIR濾波器的頻率和相位的設(shè)計規(guī)范。MATLAB等DSP數(shù)值軟件是計算優(yōu)化啟發(fā)式的強(qiáng)大工具，可根據(jù)您所需的規(guī)范設(shè)計最佳IIR濾波器。

  通常提供的一種規(guī)范是IIR濾波器用作基準(zhǔn)的模擬濾波器設(shè)計。MATLAB提供了四種模擬濾波器設(shè)計方法選項(xiàng)，下文對每種方法進(jìn)行了進(jìn)一步解釋：

  巴特沃斯

  關(guān)鍵特性：

  ? 通帶或阻帶無紋波

  ? 通帶到阻帶頻率的衰減最不急劇

? 相位失真適度

  切比雪夫I

  關(guān)鍵特性：

  ? 通帶有紋波，阻帶無紋波

  ? 頻率衰減比巴特沃斯濾波器急劇

  ? 組延遲差

切比雪夫II(反切比雪夫)

  關(guān)鍵特性：

  ? 通帶無紋波，阻帶有紋波

? 頻率衰減比巴特沃斯濾波器急劇，但不如切比雪夫I濾波器急劇

  橢圓

  關(guān)鍵特性：

  ? 通帶和阻帶均有紋波

? 頻率衰減最急劇

  比較

  下圖描述了以相同規(guī)范配置時不同模擬濾波器設(shè)計的頻率響應(yīng)。注意通帶和阻帶紋波的差異以及頻率衰減的急劇程度。

圖2. 給定相同濾波器規(guī)范時模擬濾波器頻率響應(yīng)的差異

  1.4.3 IIR濾波器架構(gòu)

  如前文所述，濾波器的響應(yīng)通過系統(tǒng)的傳送函數(shù)來表征，可以將其分解為具有以下常規(guī)形式的一系列雙二階函數(shù)：

  分子包含前饋系數(shù)，分母包含反饋系數(shù)。

  每個雙二階IIR濾波器的操作由以下差分方程定義：

一個雙二階IIR濾波器操作稱為級，級聯(lián)的級稱為通道。

  直接2型轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)

  基于此等式中各項(xiàng)的排列，存在用于實(shí)現(xiàn)雙二階數(shù)字濾波器的各種不同算法結(jié)構(gòu)或架構(gòu)。IIRFA外設(shè)實(shí)現(xiàn)了直接2型轉(zhuǎn)置濾波器，這是一種具有最少延遲元素的規(guī)范形式。

圖3. 級聯(lián)的級形成通道